์ธํ๋ฐ <๊ฒ์ ์์ง์ ์งํฑํ๋ ๊ฒ์์ํ, ์ด๋์ฐ ๊ต์๋> ๊ฐ์๋ฅผ ๋ฃ๊ณ ๊ณต๋ถํ ๊ธ์ ๋๋ค.
1. ํ๋ ฌ(Matrix)
๋ฒกํฐ๊ฐ ํ๋์ ํ ๋๋ ์ด๋ง์ ํํํ ์ ์๋ ๊ฒ์ ๋นํด, ํ๋ ฌ์ ํ ๋ฒกํฐ(Row vector) ํน์ ์ด ๋ฒกํฐ(Column vector)๋ค์ ํ์ฉํ์ฌ 2์ฐจ์์ผ๋ก ๊ตฌ์ฑ์ด ๊ฐ๋ฅํฉ๋๋ค. ์ด๋ฌํ ํ๋ ฌ์ ์ปดํจํฐ ๊ทธ๋ํฝ์ค์์ ์ ์ด๋ ์ค๋ธ์ ํธ ๋ฑ์ ๋ค๋ฅธ ์์น๋ก ์ฎ๊ธฐ๊ฑฐ๋ ํ์ ํ๋ ๋ฑ์ ๋ณํ ์ฐ์ฐ์ ์ฃผ๋ก ์ฌ์ฉ๋ฉ๋๋ค.
ํ๋ ฌ์ด๋ ๊ฒ์ ๋จ์ํ๊ฒ ์ ์ํ๋ฉด, ์ด๋ค ์ฌ๊ฐํ ํ ์์ ํ๊ณผ ์ด์ ๋ง์ถฐ์ ์๋ฅผ ๋์ดํ ๊ฒ์ ๋ถ๊ณผํฉ๋๋ค.
๋ค์ ๋งํด, ๊ฐ๋ก๋ฅผ ํ(Row), ์ธ๋ก๋ฅผ ์ด(Column)์ด๋ผ๊ณ ํ๋ ํน์ ํ ์ฌ๊ฐํ ํ์ ์ค์นผ๋ผ ๊ฐ๋ค์ ๋์ดํ๋ ๊ฒ์ด์ฃ .
์๋ฅผ ๋ค์ด, \( 2 \times 3 \) ์ A๋ผ๋ ์ด๋ฆ์ ํ๋ ฌ์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ํ๊ธฐํ ์ ์์ต๋๋ค.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} $$
์ด๋ ๊ฒ ํํํ๋ ํ๋ ฌ ์์ฒด์ ๋ฌด์ธ๊ฐ ํน๋ณํ ์๋ฏธ๊ฐ ์๋ค๊ธฐ ๋ณด๋ค๋, ํธ๋ฆฌํ๊ฒ ๊ณ์ฐํ ์ ์๋๋ก ๋ฐฐ์นํ ๊ฒ์ด๋ผ๊ณ ๋ณด๋ฉด ๋๊ฒ ์ต๋๋ค.
ํ๋ ฌ์ ์ฐ์ฐ
ํ๋ ฌ๊ณผ ํ๋ ฌ์ ๋ง์
ํฌ๊ธฐ๊ฐ ๊ฐ์(ํ๊ณผ ์ด์ ๊ฐ์๊ฐ ๊ฐ์) ํ๋ ฌ์๋ง ์ ์ฉ์ด ๊ฐ๋ฅํ๋ฉฐ, ๊ฐ ์์ ์์น์ ํด๋นํ๋ ๊ฐ๋ค์ ์๋ก ๋ํ๊ณ ๋์ผํ ์์น์ ์ง์ ํด์ฃผ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค.
\begin{align} A+B &= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+e & b +f \\ c + g & d +h \end{bmatrix}\end{align}
ํ๋ ฌ๊ณผ ์ค์นผ๋ผ์ ๊ณฑ์
๋ชจ๋ ํ๋ ฌ ์์์๋ค๊ฐ ์ค์นผ๋ผ ๊ฐ์ ๊ณฑํด์ฃผ๋ ์ฐ์ฐ์ ์ํํด์ฃผ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค.
\begin{align} k \cdot A &= k \cdot \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{bmatrix} \end{align}
ํ๋ ฌ์ ์ ์น(Transpose) ์ฐ์ฐ
์ ์น(Transpose)๋ ํ๊ณผ ์ด์ ๋ฐ๊ฟ์น๊ธฐ ํ๋ ์ฐ์ฐ์ ์๋ฏธํฉ๋๋ค. ์ฆ, ํ์ด ์ด์ด ๋๊ณ , ์ด์ด ํ์ด ๋๋ ๊ฒ์ด์ฃ .
\begin{align} \begin{bmatrix} a & d \\ b & e \\ c & f \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} \end{align}
ํ๋ ฌ๊ณผ ํ๋ ฌ์ ๊ณฑ์
๋ ํ๋ ฌ์ ๊ณฑ์ \(A \times B \)๋ฅผ ์ํํ๋ ค๋ฉด, "์์ ์๋ ํ๋ ฌ(\(A\))์ ์ด ๊ฐ์ = ๋ค์ ์๋ ํ๋ ฌ(\(B\))์ ํ ๊ฐ์" ์ฌ์ผ ํฉ๋๋ค. \(A(m \times n) \cdot B(n \times p) \) ์ด๋ฐ ๊ฒฝ์ฐ์๋ง ๊ณฑ์ ์ด ๊ฐ๋ฅํ๋ค๋ ๋ง์ด์ฃ . ์ด๋ ๊ฒ ๊ณฑ์ ์ ํด์ ๋์ค๋ ํ๋ ฌ \(C\) ๋ \(A\) ํ๋ ฌ์ ํ ๊ฐ์์ธ \(m\)๊ณผ \(B\) ํ๋ ฌ์ ์ด ๊ฐ์์ธ \(p\)๋งํผ์ ์ฌ์ด์ฆ์ธ \(m \times p \)์ ํฌ๊ธฐ๊ฐ ๋ฉ๋๋ค.
$$ C(m \times p) = A(m \times n) \cdot B(n \times p) $$
๊ณฑ์ ์ ํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์กฐ๊ธ ๋ณต์กํฉ๋๋ค. ์ ํ๋ ฌ์ ํ ๋ฒกํฐ(๊ฐ๋ก ๋ฐฉํฅ) ์์๋๋ก, ๋ท ํ๋ ฌ์ ์ด ๋ฒกํฐ(์ธ๋ก ๋ฐฉํฅ) ์์๋๋ก ๊ฐ ์์๋ฅผ ๊ณฑํด ๋ํ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค.
\begin{align} A \cdot B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix} \end{align}
์ด๋ฌํ ๊ณฑ์ ์ฐ์ฐ๊ณผ ๊ด๋ จํ์ฌ ์ค์ํ๊ฒ ์์์ผ ํ ์ฌ์ค์ด ์์ต๋๋ค.
๊ตํ ๋ฒ์น์ ๋ง์กฑํ์ง ์๋๋ค.
\begin{align} A \cdot B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix} \end{align}
\begin{align} B \cdot A = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + cf & be + df \\ ag + ch & bg + dh \end{bmatrix} \end{align}
$$ A \cdot B \ne B \cdot A $$
๊ฒฐํฉ ๋ฒ์น์ ์ฑ๋ฆฝํ๋ค.
$$ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C $$
์ฆ, ๋ฌด์์ ๋จผ์ ๊ณฑํ๋ ๊ฐ์ ๊ธฐ์กด์ ์์๋ง ์ ์ง๋๋ค๋ฉด ๋์ผํ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ๋ณด์ฅํ๋ค๋ ๊ฒ์ด์ฃ .
์ด๋ฌํ ํ๋ ฌ์ ์ฑ์ง์ ์์ฃผ ํฐ ์ด์ ์ ๊ฐ์ง๊ฒ ๋ฉ๋๋ค. ๊ทธ ๋ด์ฉ์ ๋ค์์ ๋ณด๋๋ก ํ์ฃ .
์ ์น ์ฐ์ฐ
$$ (A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T $$
\begin{align} (A \cdot B)^T = \begin{bmatrix} ae+bg & af +bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ae + bg & ce +dg \\ af +bh & cf +dh \end{bmatrix} \end{align}
์ด๊ฒ์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
\begin{align} B^T \cdot A^T = \begin{bmatrix} e & g \\ f & h \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & ce + dg \\ af + bg & cf +dh \end{bmatrix} \end{align}
๋ถ๋ฐฐ ๋ฒ์น
ํ๋ ฌ์ ๋ง์ ๊ณผ ๊ณฑ์ ์ ์ฌ์ฉํ ๋ถ๋ฐฐ ๋ฒ์น๋ ๋ง์กฑํฉ๋๋ค.
$$ A(B+C) = AB + AC $$
$$ (B+C)A = BA + CA $$
๋ค๋ง, ์์์ ๋ณด์ด๋ ๊ฒ์ฒ๋ผ ํ๋ ฌ \(A\)๊ฐ ์ข์ธก์์ ๋ถ๋ฐฐ๋๋ค๋ฉด, ๊ฐ ํ๋ ฌ์ ๊ณฑ์ ๊ฒฐ๊ณผ์๋ \(A\)๊ฐ ์ข์ธก์ ์์ด์ผ ํฉ๋๋ค. ๋ฐ๋๋ก, ํ๋ ฌ \(A\)๊ฐ ์ฐ์ธก์์ ๋ถ๋ฐฐ๋๋ค๋ฉด, ๊ฐ ํ๋ ฌ์ ๊ณฑ์ ๊ฒฐ๊ณผ์ \(A\)๊ฐ ์ฐ์ธก์ ์์ด์ผ ํฉ๋๋ค.
์ด๊ฒ ์ญ์ ๊ตํ ๋ฒ์น์ด ์ฑ๋ฆฝํ์ง ์๋ ํ๋ ฌ์ ํน์ฑ์์ ๋์จ ์ฃผ์์ ์ธ ๊ฒ ๊ฐ๋ค์.
2. ์ ํ ๋ณํ๊ณผ ํ๋ ฌ
๋ฒกํฐ ๊ณต๊ฐ์ ๊ตฌ์กฐ๋ฅผ ๊ทธ๋๋ก ์ ์งํ๋ฉด์ ์ ํ์ฑ์ ๋๋ ์ ํ ๋ณํ์ ํตํด, ์๋ก์ด ๊ณต๊ฐ์ผ๋ก ๋ณํ๋๋ ๊ทธ ๊ณผ์ ์์ฒด๊ฐ ํ๋ ฌ์ ๋์๋๋ค๋ ์ ์ด ์๊ณ , ์ด๊ฒ์ด ํ๋ ฌ์ ์ฌ์ฉํ๋ ์ด์ ์ ๋๋ค. 1)๋ณต์กํ ์ ํ ๋ณํ์์ ์ผ์ผ์ด ๊ณ์ฐํ์ง ์์๋ ๋๋ฉฐ, 2)ํ๋ ฌ๋ก ์ ๋ฆฌ๋ ๊ฐํธํ ์์ ๊ณฑ์ ์ ๊ฐ๋ฅผ ํตํด ์ํ๋ ์ ํ ๋ณํ์ ๋น ๋ฅด๊ฒ ๊ตฌํํ ์ ์๋ค๋ ์ฅ์ ์ด ์์ต๋๋ค.
์ ์ ์ ์ ํ์ฑ ํํธ์์, \( \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2 \) ๋์๊ด๊ณ๋ฅผ ๊ฐ์ง๋ ๋ค์ ๋ฒกํฐ ํจ์๋ ์ ํ์ฑ์ ๋ง์กฑํ๋ค๋ ๊ฒ์ ์์๋ดค์ต๋๋ค.
$$ f((x,y))=(ax+by, cx+dy) $$
์์ ๊ฐ์ ์ ํ ๋ณํ์์ ์ด๋ป๊ฒ ํ๋ ฌ์์ผ๋ก ๋ฐ๊ฟ ์ ์์๊น์? ์ด๋ค ์์์ ํ๋ ฌ \(A \)๋ฅผ
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
๋ผ๊ณ ์ ์ํ๊ณ , ์์์ ๋ฒกํฐ \(v\)๋ฅผ
\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
๋ฅผ ์ ์ํ์ ๋, ํ๋ ฌ๊ณผ ํ๋ ฌ์ ๊ณฐ์ ๋ฒ์น์ ์ํด์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ ๋์ต๋๋ค.
\begin{align} A \cdot v = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} \end{align}
์ ์์ ๋ณด๋ฉด, ์ ํ ๋ณํ์์์ ์๋ ์ฌ์ฉ๋์๋ \(x, y\) ๊ฐ ์ด ๋ฒกํฐ \(v\) ๋ก ์กด์ฌํ๊ณ , \(ax+by\) ๋ฅผ ์ฒซ ๋ฒ์งธ ์์๋ก, \(cd+dy\) ๋ฅผ ๋ ๋ฒ์งธ ์์๋ก ๊ฐ์ง๋ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฌผ์ด ๋ง๋ค์ด์ง๊ฒ ๋ฉ๋๋ค.
๊ทธ๋ ๋ค๋ฉด, ์ ์์์ ๊ณฑํ๋ ํ๋ ฌ \(A\)๋ ๋ฌด์์ผ๊น์?
๋ฐ๋ก, \((ax + by, \ cx+dy) \) ์ด๋ผ๊ณ ํ๋ ์ด๋ค ์ ์ผ๋ก ๋์์์ผ์ฃผ๋ ์ ํ ๋ณํ ํจ์์ ์ญํ ์ ํ๋ ๊ฒ์ ๋๋ค.
์ด๋ฌํ ๊ฒฐ๊ณผ๋ค์ ํตํด, ์ฐ๋ฆฌ๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ์๋ฏธ๋ฅผ ์ถ๋ก ํ ์ ์์ต๋๋ค.
- \(A\) ํ๋ ฌ์ ๊ฐ์ ์ฐจ์์ ๊ณต๊ฐ์ด ์๋ก ๋์๋๋๋ก ํ๋ ์ ํ ๋ณํ
- ์ฆ, ์ ๋ฐฉ ํ๋ ฌ์ ๊ฐ์ ์ฐจ์์ ๊ณต๊ฐ์ด ์๋ก ๋์๋๋๋ก ํ๋ ์ ํ ๋ณํ์์ ์๋ฏธ
- \(A\) ํ๋ ฌ์ \(2 \times 2 \) ์ ๋ฐฉ ํ๋ ฌ์ด์์ผ๋ฏ๋ก, \( \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2 \)
- ์ด ๋ฒกํฐ๋ ๋ฒกํฐ ๊ณต๊ฐ์ ๋ฒกํฐ
์ด ๊ธฐ๋ฐ ํ๋ ฌ๊ณผ ํ ๊ธฐ๋ฐ ํ๋ ฌ
๋ฒกํฐ๋ฅผ ํ์ผ๋ก ํํํ๋, ์ด๋ก ํํํ๋์ ๋ฐ๋ผ ๋ฐฉ๋ฒ์ด ๋ ๊ฐ์ง๊ฐ ์์ต๋๋ค.
์ด ๊ธฐ๋ฐ ํ๋ ฌ(Column Major Matrix)๋ ์ํ์์ ์ฌ์ฉํ๋ ๊ธฐ๋ณธ ๋ฐฉ์์ด๋ฉฐ, OpenGL์์ ์ฌ์ฉํ๊ณ ์์ต๋๋ค.
๋ฒกํฐ์ ์์๊ฐ ๋ค์ ์จ๋ค๋ ํน์ง์ด ์์ผ๋ฉฐ, ๊ฒฐ๊ณผ ๋ํ ์ด์ ๊ฒฐ๊ณผ๋ก ๋์ค๋ ๊ฑธ ๋ณผ ์ ์์ต๋๋ค.
\begin{align} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} \end{align}
ํ ๊ธฐ๋ฐ ํ๋ ฌ(Row Major Matrix)๋ DirectX ๋ฐ ๊ฒ์ ์์ง์์ ์ฌ์ฉํ๋ ๋ฐฉ์์ ๋๋ค. ๋ฒกํฐ์ ์์๊ฐ ์์ ์จ๋ค๋ ํน์ง์ด ์์ผ๋ฉฐ, ๊ฒฐ๊ณผ ๋ํ ํ์ ๊ฒฐ๊ณผ๋ก ๋์ค๋ ๊ฑธ ๋ณผ ์ ์์ต๋๋ค.
\begin{align} \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by & cx + dy \end{bmatrix} \end{align}
ํ๋, ์ฌ์ค์ ์ด ๊ธฐ๋ฐ ํ๋ ฌ๊ณผ ํ ๊ธฐ๋ฐ ํ๋ ฌ์ ์๋ก ์ ์น ๊ด๊ณ์ผ ๋ฟ, ๊ฒฐ๊ณผ๋ ๋์ผํจ์ ๋ณด์ฅํฉ๋๋ค.
$$ Av = v' $$
$$(v')^T = (Av)^T = v^TA^T $$
3. ์ ํ ๋ณํ์ ์๊ฐํ
๋ณํ๋๊ธฐ ์ ์ ์ด๋ ํ ๋ฒกํฐ ๊ณต๊ฐ \((x, y) \) ๊ฐ ์๋ค๊ณ ๊ฐ์ ํด ๋ด ์๋ค. ์ฌ๊ธฐ์์ \( x, \ y \) ๋ ์๋ก ๊ท ์ผํ๊ฒ ๋๋ฑํ ๊ด๊ณ์์ ๋๊ฐ์ด ๊ฐ์ญ ์์ด ์กฐํฉ๋๋ค๊ณ ๋ณผ ์ ์์ต๋๋ค. ์ฆ, ์ ํ ๋ ๋ฆฝ์ธ ๊ฑฐ์ฃ .
๊ทธ๋ ๊ธฐ์, ์ด๋ฌํ ์์์ ์ \((x, y)\) ๋ฅผ ์ด๋ป๊ฒ ์์ฑํ๋์ง ๊ตฌ์กฐ๋ฅผ ์๊ฐํด ๋ณธ๋ค๋ฉด, ํ์ค ๊ธฐ์ ๋ฒกํฐ \(e_1(1, 0)\) ๊ณผ \(e_2(0, 1)\) ์๋ค๊ฐ ๊ฐ๊ฐ \(x\) ๋ฐฐ, \(y\) ๋ฐฐ ํด์ ๋ํ๋ค๊ณ ๋ณผ ์ ์์ต๋๋ค. ์ ํ ๋ณํ์ ํ๊ธฐ ์ , ์๋ ๋ฒกํฐ ๊ณต๊ฐ์ ์ํ ์์์ ๋ฒกํฐ์ ๋ํ ์กฐํฉ์์ด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค๊ณ ์๊ฐํด ๋ด ์๋ค.
$$ (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) $$
๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์ ํ ๋ณํ ํจ์ ์ญํ ์ ํ๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ A ํ๋ ฌ์ด ์๋ค๊ณ ํฉ์๋ค.
\begin{align} A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \end{align}
์ด ๋, A ํ๋ ฌ์ ๊ฐ ์ด ๋ฒกํฐ๋ก ๋๋์ด ๋ณด๊ฒ ๋๋ค๋ฉด \( (a, c) \), \( (b, d) \) ๊ฐ ๋๊ณ , ์ด๊ฒ์ ๋ณํ๋ ๊ณต๊ฐ์ ํ์ค ๊ธฐ์ ๋ฒกํฐ \( e_1'(a, c), e_2'(b, d) \) ๋ฅผ ์๋ฏธํฉ๋๋ค. ์ด ๋ง์ ๊ธฐ์กด์ ๋ฒกํฐ ๊ณต๊ฐ์ ์ด๋ฃจ๊ณ ์๋ ํ์ค ๊ธฐ์ ๋ฒกํฐ \(e_1(1, 0), \ e_2(0, 1) \) ๊ฐ A ํ๋ ฌ์ ๊ฐ ์ด ๋ฒกํฐ ์ฑ๋ถ์ผ๋ก ๋ณํ๋์๋ค๋ผ๊ณ ํด์ํ ์ ์๊ฒ ์ง์.
$$ x(1, 0) + y(0, 1) \rightarrow x(a, c) + y(b, d) $$
์ด๋ ๊ฒ ์ ํ ๋ณํ๋ ๊ธฐ์ ๋ฒกํฐ๋ฅผ ์กฐํฉํด, ๋ณํ๋ ๊ณต๊ฐ์ ๋ชจ๋ ๋ฒกํฐ๋ค์ ์ผ์ผ์ด ์ถ์ ํ์ง ์์๋ ์์๋ผ ์ ์๊ฒ ๋ฉ๋๋ค.
$$ (x',y')=x(a,c)+y(b,d)=(ax+by, cx+dy) $$
๊ทธ๋ฐ๋ฐ, ์ด ์ ์ด๋์ ๋ง์ด ๋ณด์ง ์์๋์?
$$ f((x,y))=(ax+by, cx+dy) $$
๋ค. ์์ ์ดํด ๋ดค์๋ ์ ํ ๋ณํ์๊ณผ ๋๊ฐ๋ค๋ ๊ฑธ ์ ์ ์์ต๋๋ค.
์ด๋ฐ ์์ผ๋ก ํ์ค ๊ธฐ์ ๋ฒกํฐ๋ฅผ ๋ณํํ ์ ์๋ค๋ฉด, ์ํ๋ ๋ณํ์ ์ฝ๊ฒ ์ ์ฉํ ์ ์๊ฒ ๋ฉ๋๋ค.
์) ํฌ๊ธฐ ๋ณํ ํ๋ ฌ
๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ์๋ ํ๋ฉด ๊ณต๊ฐ์ ์กด์ฌํ๋ ๋ฌผ์ฒด๋ฅผ ์ข์ฐ๋ก๋ A ๋งํผ ๋๋ฆฌ๊ณ , ์ํ๋ก๋ B ๋งํผ ์ค์ด๋ ค๊ณ ํฉ๋๋ค.
๊ทธ๋ฌ๋ฉด, ๊ธฐ์กด ํ๋ฉด์ ์ด๋ฃจ๋ ๊ณต๊ฐ์ ํ์ค ๊ธฐ์ ๋ฒกํฐ \( e_1(1, 0), \ e_2(0, 1)\) ์ ๋ณํ์์ผ ์ค ํ๋ ฌ์ ์ ์ฉํด์ผ ๊ฒ ์ง์.
๊ฐ๋ก๋ก๋ A ๋งํผ ๋๋ฆฌ๊ณ , ์ธ๋ก๋ก๋ B ๋งํผ ์ค์ธ๋ค๊ณ ํ์ผ๋๊น ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ํ๋ ฌ์ ์ฌ์ฉํ๋ฉด ๋ ๊ฒ๋๋ค.
\begin{align} \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \end{bmatrix} \end{align}
์) ๋ฐ๊ธฐ ๋ณํ
์ด๋ฒ์๋ y์ถ๋ง x์ถ ๋ฐฉํฅ์ผ๋ก \(a\) ์นธ ๋ฏธ๋ ๋ณํ์ ํด๋ด ์๋ค. x์ถ์ ๋ณํ๊ฐ ์์ผ๋ (1, 0) ๊ทธ๋๋ก ์ฌ์ฉํด์ฃผ๋ฉด ๋ ๊ฒ์ด๊ณ , ๋์ y์ถ์ด ๊ธฐ์กด ์์น์์ \(a\)๋งํผ ์ค๋ฅธ์ชฝ์ผ๋ก ๋ฐ์ด์ง๋ ๊ฑฐ๋ \((a, 1)\)์ ์ฌ์ฉํ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค.
\begin{align} \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + ay & y \end{bmatrix} \end{align}
์) ์์์ ๊ฐ \(\theta \)์ ๋ํ ํ์
ํ์ค ํ๋ฉด ๊ณต๊ฐ์์ ์์์ ๊ฐ \(\theta \) ๋งํผ ํ์ ์ ํ๊ฒ ๋๋ฉด, ํ์ค ๊ธฐ์ ๋ฒกํฐ \(e_1, \ e_2 \) ๋ ๊ฐ๊ฐ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ขํ๊ฐ ๋ณํํ๊ฒ ๋ฉ๋๋ค.
\(e_1\) ์ด \( (cos \theta, \ sin \theta)\) ๋ก ๋ณํํด์ผ ํ๊ณ , \(e_2\) ๊ฐ \( (-sin \theta, \ cos \theta) \) ๋ก ๋ณํํด์ผ ํ๋, ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ ์ฉํด์ฃผ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค.
$$ \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} xcos\theta-ysin\theta & xsin\theta+ycos\theta \end{bmatrix} $$
4. ํ๋ ฌ์ ๊ณฑ์ด ๊ฐ์ง๋ ํน์ง
ํ๋ ฌ์ ํ๋์ ์ ํ ๋ณํ์ ๋์๋๋ฉฐ, ํ๋ ฌ์ ๊ณฑ์ ์ ํ ๋ณํ์ ์ ์ฉํ ๊ฒฐ๊ณผ์ ๋ค์ ์ ํ ๋ณํ์ ์ ์ฉํ๋ ๊ณผ์ ์ ๊ฑฐ์ณ ๊ณต๊ฐ์ ๋ณํ์ํค๊ฒ ๋ฉ๋๋ค.
์ด๋ฅผ ์์์ผ๋ก ๋ํ๋ด๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
$$ W = A\cdot (B\cdot v) $$
๊ทธ๋ฐ๋ฐ, ํ๋ ฌ์ ๊ฒฐํฉ ๋ฒ์น์ด ์ฑ๋ฆฝํ๋ฏ๋ก ์ ์์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ธ ์ ์์ต๋๋ค.
$$ W = (A\cdot B)\cdot v $$
์ฆ, ๊ธฐ์กด ๋ฒกํฐ ๊ณต๊ฐ \(v\)์ ๋ณํ ํ๋ ฌ \(A \)์ \(B\)๋ฅผ ๊ณฑํ ๊ฒฐ๊ด๊ฐ์ \(v\)์ ๊ณฑํ๊ฒ ๋๋ฉด, ๋ฐ๋ก ๋ณํ๋ ๋ฒกํฐ ๊ณต๊ฐ \(W\)๋ฅผ ์ป์ ์ ์๋ค๋ ์๋ฏธ๊ฐ ๋์ฃ . ์ฆ, ํฉ์ฑํจ์์ฒ๋ผ ํ ๋ฐฉ์ ์ค๊ฐ ๋จ๊ณ๋ฅผ ๊ฑฐ์น์ง ์๊ณ , ํ ๋ฐฉ์ ๊ฑด๋๋ฐ๊ธฐ๊ฐ ๋๋ค๋ ์๋ฆฌ์ ๋๋ค.
์ด๋ฌํ ์๋ฏธ๋ฅผ ๊ฐ์ง๊ธฐ์, ๋ ํ๋ ฌ์ ๊ณฑํ ์ \(A \cdot B \)๋ ๋ฒกํฐ ๊ณต๊ฐ \(V\)์์ ๋ฒกํฐ ๊ณต๊ฐ \(W\)๋ก ์งํํ ์ ์๊ฒ ํด์ฃผ๋ ๋ณํ ํจ์์ ์๋ฏธ๋ฅผ ๊ฐ์ง๊ฒ ๋๋ค๊ณ ๋ณผ ์ ์์ต๋๋ค.
์ด๋ฌํ ํน์ง์ ๊ณ์ฐ ๊ณผ์ ์ ๋ง์ด ์ค์ฌ์ฃผ๋ ํจ๊ณผ๋ฅผ ๊ฐ์ ธ์ฌ ์ ์๊ธฐ ๋๋ฌธ์, ๊ฒ์์์ ํ๋ ฌ์ด ํ์์ ์ผ๋ก ์ฐ์ด๋ ๊ฒ์ ๋๋ค.
์๋ฅผ ๋ค์ด, ๊ฒ์ ๊ฐ๋ฐ์ ํ๋ค ๋ณด๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ 5๊ฐ์ง ๋ณํ์ ์ฃผ๋ก ํ๊ฒ ๋ฉ๋๋ค.
- ํฌ๊ธฐ (S, Scale)
- ํ์ (R, Rotation)
- ์ด๋ (T, Translation)
- ๋ทฐ (V, View)
- ํฌ์ (P, Projection)
๋ง์ฝ ์ด๋ ํ ์บ๋ฆญํฐ๊ฐ 10๋ง ๊ฐ์ ์ ์ผ๋ก ์ด๋ฃจ์ด์ ธ ์๋ค๊ณ ํ๋ค๋ฉด, ์ด๋ฅผ ์ฐ์ฐํ์ฌ ๋ชจ๋ํฐ์ ๋ณด์ฌ์ฃผ๊ธฐ๊น์ง ์์ 5๊ฐ์ง ๊ณผ์ ์ ๊ฑฐ์น๊ธฐ์ 50๋ง๋ฒ์ ์ฐ์ฐ์ด ๋ฐ์ํ๊ฒ ๋ฉ๋๋ค.
$$ P\cdot (V\cdot (T\cdot (R\cdot (S\cdot v)))) $$
๊ทธ๋ฐ๋ฐ, ์์ ๊ฐ์ 5๊ฐ์ง ๋ณํ๋ค์ด ํญ์ ๊ณ ์ ๋์ด ์๋ค๋ฉด, \(PVTRS\)๋ฅผ ๋ฏธ๋ฆฌ ๊ณ์ฐํด ํ๋ ฌ๋ก ์์ฑํ ํ, ์ด๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋ฉด ๋์ผํ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ๋ง๋ค์ด์ฃผ๋ ์ฐ์ฐ์ด ๋๋ฏ๋ก 10๋ง๋ฒ์ผ๋ก ํด๊ฒฐํ ์ ์๊ฒ ๋ฉ๋๋ค.
$$ P\cdot (V\cdot (T\cdot (R\cdot (S\cdot v))))=(PVTRS)\cdot v $$
์ง๊ธ๊น์ง ํ๋ ฌ์ ๋ํด ์์๋ณด๋ ์๊ฐ์ ๊ฐ์ก์ต๋๋ค.
'๐ฎGame Development > Game Mathemathics' ์นดํ ๊ณ ๋ฆฌ์ ๋ค๋ฅธ ๊ธ
[๊ฒ์ ์ํ] #10 | ์ํ ๊ณต๊ฐ(Affine Space) (1) | 2023.11.24 |
---|---|
[๊ฒ์ ์ํ] #9 | ์ญํ๋ ฌ(Inverse Matrix) (1) | 2023.11.23 |
[๊ฒ์ ์ํ] #7 | ์ ํ์ฑ(Linearity) (0) | 2022.07.28 |
[๊ฒ์ ์ํ] #6 | ์ผ๊ฐํจ์(2) : ๊ฐ์ ์ธก์ ๋ฒ (0) | 2022.07.25 |
[๊ฒ์ ์ํ] #5 | ์ผ๊ฐํจ์(1) : ์ผ๊ฐํจ์์ ๊ฐ๋ (0) | 2022.07.25 |